Câu 1 (4,0 điểm): Cơ học vật rắn
Một hình lăng trụ đặc, đồng chất khối lượng \( M \), đáy là tam giác đều cạnh \( a \).
1. Xác định vị trí khối tâm \( G \) của hình lăng trụ.
2. Chứng minh moment quán tính của hình lăng trụ đối với trục đi qua \( G \) và vuông góc với đáy là: \[ I_G = \frac{1}{12} M a^2 \]
3. Treo lăng trụ bằng ba sợi dây mảnh có cùng chiều dài \( L \) vào các đỉnh \( A, B, C \).
a) Cắt dây \( CC' \), lăng trụ quay quanh trục \( AB \) cố định với \( I_{AB} = \frac{M a^2}{8} \). Tính tốc độ góc và gia tốc của điểm \( G \) khi lăng trụ hợp với mặt phẳng thẳng đứng một góc \( \alpha \).
b) Xác định chu kỳ dao động nhỏ khi cho hình lăng trụ thực hiện chuyển động xoắn quanh trục thẳng đứng.
Câu 2 (4,0 điểm): Nhiệt học
Một xilanh nằm ngang cách nhiệt chứa khí lí tưởng đơn nguyên tử và thủy ngân được chia bằng vách ngăn mỏng cách nhiệt.
a) Tính áp suất của khối khí khi vách ngăn ở chính giữa xilanh và hệ cân bằng.
b) Đun nóng khối khí slowly, tìm mối liên hệ giữa áp suất \( p \) và thể tích \( V \) của khí trong quá trình dịch chuyển.
c) Xác định nhiệt độ của khối khí khi vách ngăn chạm thành bên phải.
d) Tính tổng công thực hiện và nhiệt lượng mà khối khí nhận được trong quá trình trên.
Câu 3 (4,0 điểm): Điện tích trong điện trường
Xét tụ điện không khí hình trụ hai bản bán kính \( R_1 \) và \( R_2 \) mắc vào nguồn điện một chiều \( U \). Một hạt mang điện \( q, m \) bay vào tụ điện với vận tốc ban đầu \( v_0 \).
1. Viết biểu thức cường độ điện trường \( E(r) \) tại điểm cách trục một khoảng \( r \).
2. Xác định các thành phần vận tốc của hạt tại vị trí bất kỳ trong tụ điện.
3. Tính thời gian chuyển động và thiết lập phương trình quỹ đạo của hạt trong tụ điện.